Да, можно, в этой ситуации нет никакого запрета. Более того, многие священники видят в таком поступке доброе дело. Дело в том, что крест — это христианская святыня. Когда кто-то выбрасывает его на мусорку, это действительно воспринимается как небрежение, почти как осквернение. Поэтому, если вы нашли такой крест (например, на кладбищенской свалке или рядом с ней) и решили поставить его на могилу вашего родственника — вы фактически спасаете святыню, возвращаете ей достойное место. Никакой «магической» связи между конкретным крестом и тем усопшим, на чьей могиле он раньше стоял, нет. Вы просто используете крест по его назначению — как знак веры и памяти на захоронении.

Перед тем как действовать лучше обсудить ситуацию со священником в вашем храме. Батюшка благословит вас на этот шаг, даст дополнительные наставления и поможет разобраться в деталях.

Главное в такой истории — не сам факт «чужого» креста, а ваше намерение: почтить память близкого и не допустить поругания святыни.