Здравствуйте, Ксения. Да, конечно можно просить Бога о прощении грехов в домашней молитве, да и просим мы ежедневно в молитве, которая находиться в конце вечернего молитвенного правила.  

Вот текст этой молитвы. Исповедание грехов повседневное

Исповедаю Тебе Господу Богу моему и Творцу, во Святей Троице Единому, славимому и покланяемому, Отцу и Сыну и Святому Духу, вся моя грехи, яже содеях во вся дни живота моего, и на всякий час, и в настоящее время, и в прешедшия дни и нощи, делом, словом, помышлением, объядением, пиянством, тайноядением, празднословием, унынием, леностию, прекословием, непослушанием, оклеветанием, осуждением, небрежением, самолюбием, многостяжанием, хищением, неправдоглаголанием, скверноприбытчеством, мшелоимством, ревнованием, завистию, гневом, памятозлобием, ненавистию, лихоимством и всеми моими чувствы: зрением, слухом, обонянием, вкусом, осязанием и прочими моими грехи, душевными вкупе и телесными, имиже Тебе Бога моего и Творца прогневах, и ближняго моего онеправдовах: о сих жалея, винна себе Тебе Богу моему представляю, и имею волю каятися: точию, Господи Боже мой, помози ми, со слезами смиренно молю Тя: прешедшая же согрешения моя милосердием Твоим прости ми, и разреши от всех сих, яже изглаголах пред Тобою, яко Благ и Человеколюбец.

Но, все же, главным таинством, в котором мы получаем прощение грехов, является таинство Исповеди.